miércoles, 5 de abril de 2023
Relaciones entre la Música y las Matemáticas Los Pitagóricos
Los Pitagóricos
En la época de los antiguos griegos, Pitágoras y los pitagóricos (siglo VI a.C) fueron los primeros en desarrollar una división del curriculum llamado quadrivium en donde la música se consideraba una disciplina matemática que manejaba relaciones de números, razones y proporciones. Esta división se mantuvo durante la Edad Media, por lo que era necesario el estudio de ambas disciplinas. El quadrivium (aritmética, música, geometría y astronomía), con el agregado del trivium (gramática, retórica y dialéctica), se convirtieron en las siete artes liberales, pero la posición de la música como un subconjunto de las matemáticas permaneció durante la Edad Media.
Las siete artes las dividían en “saberes exactos” (Quatrivium o Matemáticas) y “saberes humanos” (Trivium).
Pitágoras
Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 adC - 507 adC) fue uno de los filósofos griegos más sabios de la Antigüedad. Fundó su propia escuela de pensamiento, la Escuela pitagórica, que afirmaba que la estructura del universo era aritmética y geométrica, a partir de lo cual las matemáticas se convirtieron en una disciplina fundamental para toda investigación científica. Como consecuencia, esta escuela se distinguió por estudiar y desarrollar los campos de las matemáticas, aritmética, geometría, astronomía y música entre otros.
Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemáticas, que significa “lo que es aprendido”. Él describe un sistema de ideas que busca unificar los fenómenos del mundo físico y del mundo espiritual en términos de números, en particular, en términos de razones y proporciones de enteros. Se creía que, por ejemplo, las órbitas de los cuerpos celestiales que giraban alrededor de la Tierra producían sonidos que armonizaban entre sí dando lugar a un sonido bello al que nombraban “la música de las esferas”.
Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La música griega existía mucho antes, era esencialmente melódica más que armónica y era microtonal, es decir, su escala contenía muchos más sonidos que la escala de doce sonidos del mundo occidental.
Pitágoras consideraba que la esencia última de la realidad se expresaba a través de números. Los números eran el medio para percibir lo que de otra forma podría permanecer inalcanzable tanto para el intelecto como para los sentidos y como consecuencia trató de explicar matemáticamente la escala musical, que entonces era un gran misterio para los hombres. Estaba convencido de que los intervalos entre las notas de una octava podían ser representadas mediante números y en ello trabajó durante gran parte de su vida.
Como los pitagóricos veían que las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números y que todas las cosas están también conformadas según los números y que estos son lo primero en toda la naturaleza, pensaron que las relaciones de los números son las relaciones de todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número.
La armonía de las esferas
Los pitagóricos fueron los primeros en definir el Cosmos como una serie de esferas perfectas que describían órbitas circulares. Pitágoras sostenía que los 7 planetas (Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, incluyendo el Sol), al describir sus órbitas, emitían unos sonidos, las notas musicales que creaban lo que él llamó la Armonía de las Esferas.
Para sus seguidores, los pitagóricos, las distancias entre los planetas -las esferas- tenían las mismas proporciones que existían entre los sonidos de la escala musical que eran considerados entonces como "armónicos" o consonantes. Cada esfera producía el sonido que un proyectil hace al cortar el aire. Las esferas más cercanas daban tonos graves, mientras que las más alejadas daban tonos agudos. Todos estos sonidos se combinaban en una hermosa armonía: la música de las esferas.
Cuenta la leyenda que cierto día, mientras Pitágoras paseaba por la calle escuchó unos golpeteos rítmicos que le llamaron poderosamente la atención. El ruido procedía de una herrería cercana hasta la cual el sabio de Samos se aproximó, atraído por la musicalidad de los golpes de los martillos sobre el yunque. Estuvo allí bastante rato, observando cómo trabajaban los herreros y cómo utilizaban sus herramientas, y se dio cuenta de que el sonido variaba según el tamaño de los martillos. Así Pitágoras descubrió la relación numérica entre las notas musicales, las mismas notas musicales que emitían los 7 planetas al girar alrededor de la Tierra.
No todos los pensadores de la antigüedad creyeron en la música de las esferas. Aristóteles, en su libro Del cielo, negó la existencia del universo sonoro propuesto por Platón: "La teoría de que el movimiento de las estrellas produce una armonía, es decir, sonidos que revelan una concordancia, a pesar de la gracia y la originalidad con que ha sido presentada, no por ello deja de ser falsa."
Sin embargo, las ideas que tuvieron la mayor influencia fueron los mitos de Platón. Así, pensadores como Cicerón, Arístides Quintilianus y Tolomeo apoyaron la teoría de la música de las esferas.
La creencia en algunas religiones de la existencia de ángeles en el universo junto con la música de las esferas dio origen a lo que se conoció como "música celeste". Esta era la música producida por los ángeles que se representó en muchas obras de arte de la Edad Media y del Renacimiento.
Además, hay que tener en cuenta que estas ideas fueron tomadas también en otros campos como la Astronomía: para su concepción del universo, Kepler se apoyó en los mitos de Platón y en el sistema de Copérnico que planteaba que el Sol era el centro en torno al cual giraban los planetas. Kepler postulaba que el modelo del universo estaba basado en la geometría: entre las órbitas de los seis planetas conocidos (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) estaban inscritos los cinco sólidos perfectos mencionados por Platón (cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro)
Kepler estudió cuidadosamente las órbitas de los planetas para establecer una relación entre el movimiento de estos cuerpos celestes con la teoría musical a la que se refirió como de Tolomeo, pero que había sido planteada por Gioseffo Zarlino. Finalmente, en su libro Harmonices Mundi, postuló que las velocidades angulares de cada planeta producían sonidos consonantes. Asumida esta creencia, escribió seis melodías: cada una correspondía a un planeta diferente. Al combinarse, estas melodías podían producir cuatro acordes distintos, siendo uno de ellos el acorde producido en el momento de la creación y otro el que marcaría el momento del fin del universo.
La teoría de Pitágoras
Para estos incipientes científicos, los números eran los verdaderos principios o esencias de las cosas, con lo que no es de extrañar que llegaran a una mística matemática que les llevara a considerar la armonía y la música como actividades purificadoras del alma. Esta creencia les llevó a entregarse a los estudios musicales, dando lugar al descubrimiento de que las proporciones entre las notas musicales y las longitudes de las cuerdas que las producen son isomorfas a proporciones existentes entre los números enteros. Así descubrirían los teoremas sobre cuerdas y se concentrarían en el estudio de las matemáticas motivados por la labor purificadora de las matemáticas al estar en relación con la música.
Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razones de enteros. Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la longitud, grosor y tensión de la misma. Entendemos que cualquiera de estas variables afecta la frecuencia de vibración de la cuerda. Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir la cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído. Eso era una maravillosa confirmación de su teoría.
Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis). Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones 1:2 (los extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y 2), y 3:4 (media aritmética de 1 y 2) producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones. A estos intervalos los llamó diapasón, diapente y diatesaron. Hoy los llamamos octava, quinta y cuarta porque corresponden a esas notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). Los pitagóricos no sabían nada de ondas sonoras y de frecuencias. De hecho, la regla que establece que la frecuencia está relacionada con la longitud de la cuerda no fue formulada hasta el siglo XVII, cuando el franciscano fray Marin Mersenne definió algunas reglas sobre la frecuencia de una cuerda vibrando.
La razón por la cual encontramos a estos intervalos más agradables que otros tiene que ver con la física de la cuerda tocada. Cuando una cuerda de 36 cm se rasga, no sólo se produce una onda de 36 cm, sino que además se forman dos ondas de 18 cm, tres de 12, cuatro de 9, y así sucesivamente. La cuerda vibra en mitades, tercios, cuartos, etcétera. Y cada vibración subsidiaria produce “armónicos”, estas longitudes de onda producen una secuencia de armónicos, 1/2, 1/3, 1/4... de la longitud de la cuerda. Los sonidos son más agudos y mucho más suaves que el sonido de la cuerda completa (llamada “la fundamental”) y generalmente la gente no los escucha pero son los que hacen que los instrumentos musicales suenen diferentes entre sí. Ya que Do y Sol, a una distancia de quinta, comparten muchos de los mismos armónicos, estos sonidos se mezclan produciendo un resultado agradable.
Una de las enseñanzas clave de la escuela pitagórica era que los números lo eran todo y nada se podía concebir o crear sin éstos. Había un número especialmente venerado, el 10, al igual que la tetractys, siendo la suma de 1, 2, 3, y 4. La tetractys era el símbolo sagrado de los pitagóricos, un triángulo de cuatro hileras representando las dimensiones de la experiencia. 1 punto • 2 línea • • 3 plano • • • 4 sólido • • • •
En el caso de la música simbolizaba las proporciones entre las notas empezando por la proporción 1:2 para la octava. Los experimentos de Pitágoras con el monocordio llevaron a un método de afinación con intervalos en razón de enteros conocido como la afinación pitagórica. La escala producida por esta afinación se llamó escala pitagórica diatónica y fue usada durante muchos años en el mundo occidental. Se deriva del monocordio y de acuerdo con la doctrina pitagórica, todos sus intervalos pueden ser expresados como razones de enteros. Existen diferencias de afinación entre esta escala y la escala temperada usada actualmente.
Números y belleza eran uno. El mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles.
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io5/public_html/p2.html
Do central, ¿C3 o C4?
Objetivo: Presentar el convenio más aceptado para la diferenciación de notas según la octava en la que se encuentren.
Imagina, por un momento, que te pido que hagas sonar la nota Fa en tu instrumento. Supongamos que se trata de un piano, aunque la cuestión sería la misma si fuera cualquier otro instrumento que permita la ejecución de notas en distintas octavas.
De un vistazo localizas inmediatamente una tecla blanca justo a la izquierda de alguno de los patrones repetitivos de tres teclas negras. Haces sonar la nota y me preguntas: «¿te sirve éste o lo quieres tal vez más grave o agudo?»
Para diferenciar un Fa de otro podría decirte: «no, ese no, el que suena a 87,31 Hz».
Desde luego, ya no habría ambigüedad posible, aunque probablemente te quedaras un tanto perplejo.
Sería mucho más práctico y apropiado indicar simplemente, de un modo u otro, a qué octava concreta pertenece ese Fa.
El siguiente gráfico representa un piano completo de 88 teclas que abarca desde una nota La muy grave hasta otra Do muy aguda (haz clic sobre la imagen para ampliarla).
Vemos siete octavas completas (de DO a SI) más dos incompletas (tres notas a la izquierda y una a la derecha).
Para numerar las octavas tendremos que llegar a un acuerdo. Supongamos que por primera octava me refiero a la primera que aparece completa en el piano, segunda la siguiente y así sucesivamente.
Con este criterio acordado, podría replantearte la pregunta con más precisión pidiéndote que hicieras sonar un Fa2 (el Fa de la segunda octava), que es precisamente el que tiene por frecuencia 87,31 Hz, y no te supondría el mínimo problema su localización.
El índice de octava, denominado por algunos índice acústico o registral, puedes encontrarlo escrito de diversos modos: Fa2, Fa2, Fa(2) o Fa[2]. O bien, con notación anglosajona: F2, F2, F(2) o F[2].
Observa que, de acuerdo a este esquema, las tres notas del teclado que hay a la izquierda del primer Do pertenecen a la octava cero, de modo que la primera nota del teclado, La, se designa como A0. Te propongo como ejercicio interesante que calcules su frecuencia. Es precisamente en la octava cero donde comienza nuestro rango de frecuencias audibles.
Localiza en el teclado, a continuación, la cuarta octava completa. Fíjate que se halla en el centro, dejando tres completas a su izquierda y otras tres completas a su derecha. A la nota Do con la que comienza esa octava se la denomina, en justicia, Do central y se registra como C4, correspondiente a una frecuencia de 261,63 Hz. Unas pocas notas a la derecha, en la misma cuarta octava, se encuentra el A4, 440Hz, frecuencia de referencia más común en nuestro sistema de afinación.
Esta manera de contar octavas, en la que la primera coincide con la primera completa en el piano de 88 teclas, ha sido adoptada por la Sociedad Americana de Acústica (ASA) en un intento de ser estandarizado. Puede entenderse también refiriéndose a la octava cero como aquella en la que comienza el rango auditivo del ser humano. Vinculada al mundo de la ciencia, muchos autores se refieren a este criterio como la notación científica, índice acústico científico o incluso, como he leído en alguna ocasión, sistema de los físicos.
Pero podríamos haber contado de otra forma. Imagina por ejemplo que partimos de un gran pentagrama, el sistema de pentagrama en dos partes utilizado para la notación musical de instrumentos de amplia tesitura, como el piano, el órgano o el arpa. Vamos a denominar primera octava a la primera que se introduce en el pentagrama inferior, es decir, la que comienza en el Do ubicado en la segunda línea adicional inferior. El siguiente Do, C2, estaría en el segundo espacio y el Do central, en la frontera entre ambos pentagramas, sería el C3.
Observa que, de acuerdo a esta manera de contar, lo que antes denominábamos octava uno ahora sería la octava cero, y lo que antes era la octava cero ahora correspondería a la octava ¡menos uno!
Este modo de registro de octavas, conocido como sistema franco-belga, sigue siendo común en determinadas zonas de Europa, aunque cada vez está más extendido el sistema científico americano, al que algunos se refieren ya como el sistema internacional.
Para complicar aún más las cosas, llegan los sintetizadores, el MIDI y el software musical. Fabricantes y desarrolladores de software siguen su propio criterio a la hora de referirse a las octavas, de modo que la confusión está servida (he visto incluso un C5 como Do central).
Respondiendo entonces a la pregunta que da título a este artículo: Do central, ¿C3 o C4? Ambas formas son válidas, depende del criterio que sigas.
Yo siempre me referiré al Do central como C4, pero me cuidaré de que, cuando pueda existir algún tipo de confusión, aparezca explícitamente alguna mención que lo indique con claridad. Por ejemplo, podré decir lo siguiente: la sexta cuerda de la guitarra, afinada de modo normal, da al aire un E2 (considerando C4 como Do central). No cuesta nada escribirlo, dejarlo claro una vez, evitando así quebraderos de cabeza.
Y a la inversa igual: cuando te encuentres con el piano roll de tu secuenciador o leas un manual sobre un sintetizador, intenta de algún modo asegurarte de cuál es la correspondencia de notas. Nunca des nada por sentado.
Javier Montero Gabarró
http://elclubdelautodidacta.es/wp/2014/10/do-central-c3-o-c4/